House of Math

Kjerneregelen for derivasjon

Kjernereglen ser litt svimmel ut i sin teoretiske form, men den er enkel å regne med når du ser hvordan den henger sammen. Kjerneregelen hjelper deg å derivere sammensatte funksjoner. Det vil si funksjoner som selv har en funksjon som argument.

Formel

Kjernereglen

{[f (g)]}^{'} = f^{'} (g) \cdot g^{'},

der $f (g) = f (g (x))$ og $g = g (x)$ . Den deriverte av en sammensatt funksjon er lik den deriverte av den ytre funksjonen ganget med den deriverte av den indre funksjonen.

Slik deriverer du med kjerneregelen:

1.: Identifiser hva som er den indre og hva som er den ytre funksjonen. Litt enkelt sagt er den indre funksjonen den du kan holde for med en finger. Den ytre funksjonen er da den som stikker frem fra under fingeren.
2.: Kall den indre funksjonen for $g (x)$ (kall $g (x)$ for $g$ når du regner, da ser det mye penere ut!)
3.: Deriver den ytre funksjonen.
4.: Deriver den indre funksjonen.
5.: Multipliser dem sammen.
6.: Rydd opp i uttrykket.

Eksempel 1

Deriver $f (x) = {(2 x^{2} + 2 x + 4)}^{5}$

Da holder du fingeren over det som er i parentesen og ser at «opphøyet i 5» er på utsiden. Du vet nå at

g = 2 x^{2} + 2 x + 4

er den indre funksjonen og ${(g)}^{5}$ er den ytre funksjonen. Du får dermed at $f (g) = {(g)}^{5}$ og $g = 2 x^{2} + 2 x + 4$ . Dermed har du at

\begin{array}{l} f^{'} (g) & = 5 {(g)}^{4} \\ g^{'} & = 4 x + 2 \end{array}

og da blir det som dette:

{[f (g)]}^{'} = 5 {(g)}^{4} \cdot g^{'} = 5 {(2 x^{2} + 2 x + 4)}^{4} (4 x + 2)

Eksempel 2

Deriver $f (x) = e^{x^{3} + 2 x}$

Da holder du fingeren over det som er i eksponenten og ser at «e» er på utsiden. Du vet nå at $g = x^{3} + 2 x$ er den indre funksjonen og $e^{g}$ er den ytre funksjonen. Du får dermed at $f (g) = e^{g}$ og $g = x^{3} + 2 x$ . Dermed har du at

\begin{array}{l} f^{'} (g) & = e^{g} \\ g^{'} & = 3 x^{2} + 2 \end{array}

og da blir det som dette:

\begin{array}{l} {[f (g)]}^{'} & = e^{g} \cdot g^{'} \\ = e^{x^{3} + 2 x} (3 x^{2} + 2) \\ = (3 x^{2} + 2) e^{x^{3} + 2 x} \end{array}

Eksempel 3

Deriver $f (x) = \ln (4 x^{2} - 3 x + 2)$

Da holder du fingeren over det som er i parentesen og ser at $\ln (g)$ er på utsiden. Du vet nå at $g = 4 x^{2} - 3 x + 2$ er den indre funksjonen og $\ln (g)$ er den ytre funksjonen. Du får dermed at $f (g) = \ln (g)$ og $g = 4 x^{2} - 3 x + 2$ . Dermed har du at

\begin{array}{rcl} f^{'} (g) & = \frac{1}{g} \cdot g^{'} \\ g^{'} & = 8 x - 3 \end{array}

og da blir det som dette:

\begin{array}{l} {[f (g)]}^{'} & = \frac{1}{g} \cdot g^{'} \\ = \frac{1}{4 x^{2} - 3 x + 2} \cdot (8 x - 3) \\ = \frac{8 x - 3}{4 x^{2} - 3 x + 2} \end{array}

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!

Ferdig