House of Math

Vei, fart og akselerasjon

Den deriverte setter vei $s (t)$ , fart $v (t)$ og akselerasjon $a (t)$ i en sammenheng. Ved å derivere kan du finne et uttrykk for farten $v (t)$ og akselerasjon $a (t)$ ved hjelp av vei $s (t)$ . Sammenhengen er denne:

Regel

Vei, fart og akselerasjon

Gitt at du har posisjonen (veien) $s (t)$ , da har du at:

\begin{array}{l} v (t) & = s^{'} (t) \\ a (t) & = v^{'} (t) = s^{″} (t) \end{array}

Eksempel 1

Et fly skal fly fra London til New York. Flyets posisjon over Atlanteren er gitt ved

s (t) = - 8, 27 t^{3} + 111, 81 t^{2} + 302, 82 t + 400, 9

der $t$ er antall timer etter avgang og $s (t)$ er i kilometer.
1.
Hvor langt har flyet fløyet etter fire timer?
2.
Hvilken fart har flyet etter fire timer?
3.
Finn akselerasjonen etter fire timer.

1.: Du setter inn $t = 4$ i $s$ :
$\begin{array}{l} s (4) & = - 8, 27 \cdot 4^{3} + 111, 81 \cdot 4^{2} + 302, 82 \cdot 4 \\ + 400, 9 \\ = 2871, 86 \end{array}$

$\begin{array}{l} s (4) & = - 8, 27 \cdot 4^{3} + 111, 81 \cdot 4^{2} + 302, 82 \cdot 4 + 400, 9 \\ = 2871, 86 \end{array}$
Etter fire timer har flyet fløyet $2871, 86$ km.
2.: For å finne farten til flyet etter fire timer må du finne fartsfunksjonen $v (t)$ . Den finner du ved å derivere $s (t)$ : $\begin{array}{l} v (t) & = s^{'} (t) \\ = - 24, 81 t^{2} + 223, 62 t + 302, 82 \\ v (4) & = s^{'} (4) \\ = - 24, 81 \cdot 4^{2} + 223, 62 \cdot 4 + 302, 82 \\ = 800, 34 \\ \approx 800 \end{array}$
Flyet hadde en fart på $800$ km/t.
3.: For å finne akselerasjonen etter fire timer må du derivere fartsfunksjonen $v (t)$ . Da får du: $\begin{array}{l} a (t) & = v^{'} (t) \\ = s^{″} (t) \\ = - 49, 62 t + 223, 62 \\ a (4) & = v^{'} (4) \\ = s^{″} (4) \\ = - 49, 62 \cdot 4 + 223, 62 \\ = 25, 14 \end{array}$
Akselerasjonen på $25, 14$ km/t² viser at flyet økte hastigheten etter fire timer.

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!

Ferdig