House of Math

Funksjonsdrøfting av polynomfunksjoner

Du skal nå se et eksempel på drøfting av en polynomfunksjon. Oppskriften er som følger:

Regel

Drøfting av polynomfunksjoner

1.: Finn nullpunktene.
2.: Finn topp- og bunnpunktene.
3.: Finn vendepunktene.

Eksempel 1

Drøft funksjonen $f (x) = x^{3} + 6 x^{2} + 8 x$

1.

Finn nullpunktene ved å sette

f (x) = 0

: Ettersom

f (x)

er et tredjegradspolynom, så kan du ikke bruke annengradsformelen for å finne nullpunkter. Men siden

f (x)

ikke har et konstantledd, så kan man faktorisere ut

x

fra funksjonsuttrykket:

\begin{array}{l} f (x) & = x^{3} + 6 x^{2} + 8 x \\ = x (x^{2} + 6 x + 8) . \end{array}

\begin{array}{l} f (x) = x^{3} + 6 x^{2} + 8 x = x (x^{2} + 6 x + 8) . \end{array}

Det betyr at

x = 0

er et nullpunkt. Du kan bruke

a b c

-formelen på

x^{2} + 6 x + 8

for å finne de andre nullpunktene:

\begin{array}{l} x & = \frac{- 6 \pm \sqrt{(6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2} \\ = \frac{- 6 \pm \sqrt{4}}{2} \\ = \frac{- 6 \pm 2}{2} \end{array}

Dermed er $x = - 4$ eller $x = - 2$ . Nullpunktene til $f (x)$ er dermed når $x = - 4$ , $x = - 2$ og $x = 0$ .

2.

Finn topp- og bunnpunktene ved å sette

f^{'} (x) = 0

. Nå finner du deriverte av

f (x) = x^{3} + 6 x^{2} + 8 x

:

f^{'} (x) = 3 x^{2} + 12 x + 8

Igjen bruker du $a b c$ -formelen for å finne ekstremalpunktene til $f (x)$ : $\begin{array}{l} x & = \frac{- 12 \pm \sqrt{(1 2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2} \\ = \frac{- 12 \pm \sqrt{112}}{2} \\ \approx \frac{- 6 \pm 10, 58}{2} \end{array}$

Dermed er $x \approx - 3, 15$ eller $x \approx - 0, 85$ . For å finne punktene trenger du de tilhørende $y$ -verdiene. Disse finner du ved å sette $x$ -verdiene tilbake i hovedfunksjonen $f (x)$ : $\begin{array}{l} y & = f (- 3, 15) \approx 3, 08 \\ y & = f (- 0, 85) \approx - 3, 08 \end{array}$

Du må nå bestemme hvilket punkt som er et toppunkt, og hvilket punkt som er et bunnpunkt. Det gjør du ved å tegne fortegnslinjer. Merk at den deriverte kan faktoriserer som

f^{'} (x) = (x + 3, 15) (x + 0, 85) .

Fortegnsskjema for f’(x) = 3x^2 + 12x + 8.

Du ser av fortegnslinjene at toppunktet er $(- 3, 15, 3, 08)$ og bunnpunktet er $(- 0, 85, - 3, 08)$ .

3.

Finn vendepunktene ved å sette

f^{″} (x) = 0

. Du finner først den andrederiverte til

f (x)

ved å derivere

f^{'} (x) = 3 x^{2} + 12 x + 8

:

f^{″} (x) = 6 x + 12 .

Setter nå $f^{″} (x) = 0$ og løser likningen:

\begin{array}{l} 6 x + 12 & = 0 \\ 6 x & = - 12 \\ x & = - 2 \end{array}

Sett denne $x$ -verdien inn i den opprinnelige funksjonen $f (x)$ for å finne koordinatene til vendepunktet:

\begin{array}{l} f (- 2) & = {(- 2)}^{3} + 6 \cdot {(- 2)}^{2} + 8 \cdot (- 2) \\ = - 8 + 24 - 16 \\ = 0 . \end{array}

Vendepunktet er dermed $(- 2, 0)$ . Ved å lage et fortegnskjema for den annenderiverte, kan du også se hvor grafen til $f (x)$ er konkav eller konveks. Merk at $f^{″} (x)$ kan faktorisere som $f^{″} (x) = 6 (x + 2)$ .

Fortegnsskjema for f”(x) = 6x+12.

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!

Ferdig