House of Math

Drøfting av potensfunksjon

Potensfunksjonen er et spesialtilfelle av polynomfunksjonen, siden potensfunksjonen kun består av ett ledd og dette er et ettleddspolynom på formen $a x^{n}$ . Potensfunksjoner drøftes på samme måte som vanlige polynomfunksjoner. Her er en oppskrift:

Regel

Drøfting av potensfunksjoner

1.: Finn nullpunktene.
2.: Finn topp- og bunnpunktene.
3.: Finn vendepunktet.

Eksempel 1

En funksjon er gitt ved $f (x) = 5 x^{4}$ . Drøft funksjonen.

1.

Du finner først nullpunktene ved å sette

f (x) = 0

. Da får du:

\begin{array}{l} 5 x^{4} & = 0 | : 5 \\ x^{4} & = 0 \\ \sqrt[4]{x^{4}} & = \sqrt[4]{0} \\ x & = 0 \end{array}

Du har dermed et nullpunkt i $(0, 0)$ .

2.

Du må nå finne topp og bunnpunkter ved å sette

f^{'} (x) = 0

. Først finner du den deriverte:

f^{'} (x) = 20 x^{3} .

Du setter dette lik null for å finne topp- eller bunnpunktet:

\begin{array}{l} 20 x^{3} & = 0 \\ x & = 0 \end{array}

For å avgjøre om dette er et toppunkt eller bunnpunkt kan du velge to verdier, ett til venstre for $x = 0$ og ett til høyre for $x = 0$ . Sett disse inn i den deriverte funksjonen $f^{'} (x)$ og tolk fortegnet. Velg noen pene verdier som er lett å jobbe med, for eksempel $x = - 1$ og $x = 1$ . $\begin{array}{l} f^{'} (- 1) & = 20 {(- 1)}^{3} \\ = - 20 \\ < 0 \Rightarrow grafen avtar \\ f^{'} (1) & = 20 {(1)}^{3} \\ = 20 \\ < 0 \Rightarrow grafen vokser \end{array}$

Siden grafen først avtar og deretter vokser så har du et bunnpunkt.

Du må nå finne $y$ -verdien til i punktet ved å sette inn i hovedfunksjonen $f (x)$ .

f (0) = 5 {(0)}^{4} = 0

Du har dermed et bunnpunkt i $(0, 0)$ .

3.

For å finne vendepunktene til grafen setter du

f^{″} (x) = 0

. Men, først finner du

f^{″} (x)

:

f^{″} (x) = 60 x^{2} .

Du setter dette lik null for å finne vendepunktet:

\begin{array}{l} 60 x^{2} & = 0 \\ x & = 0 \end{array}

Du må nå finne $y$ -verdien til i punktet ved å sette inn i hovedfunksjonen $f (x)$ :

f (0) = 5 {(0)}^{4} = 0

Du ser av dette at nullpunktet, vendepunktet og bunnpunktet er ett og samme punkt.

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!

Ferdig