House of Math

Fortegnslinjer og den deriverte

Du bruker også fortegnslinjer når du skal drøfte en funksjon. Det vil si når du skal finne topp-, bunn- og terrassepunkter. Her er det viktig å holde tungen rett i munnen. Det du er ute etter er å si noe om hovedfunksjonen $f (x)$ ut ifra den deriverte funksjonen $f^{'} (x)$ . Det som skjer her er som følger:

Regel

Å tegne fortegnslinjen til den deriverte

Du tegner fortegnslinjen til den deriverte funksjonen $f^{'} (x)$ . Du skal sjekke hvor denne funksjonene ligger over og under $x$ -aksen. Deriver $f (x)$ .
Du markerer for hvilke $x$ -verdier $y$ er positiv (heltrukken linje) og for hvilke $x$ -verdier $y$ er negativ (stiplet linje).

Regel

Sammenhengen mellom $f (x)$ og $f^{'} (x)$ .

Det viser seg å være en klar sammenheng mellom $f (x)$ og $f^{'} (x)$ .

Når $f^{'} (x)$ er positiv (over $x$ -aksen), da stiger $f (x)$ .
Når $f^{'} (x)$ er negativ (under $x$ -aksen), da avtar $f (x)$ .
Når $f^{'} (x)$ er null (på $x$ -aksen), da har $f (x)$ et toppunkt, bunnpunkt eller terrassepunkt.

Regel

Bestemme topp-, bunn- og terrassepunkter

1.: Om punktet ligger mellom to heltrukne linjer eller mellom to stiplede linjer har du et terrassepunkt. Se Figur (a).
2.: Om punktet ligger mellom en heltrukken linje på venstre side og en stiplet linje på høyre side, betyr dette at $f$ først stiger, så avtar. Du får da et toppunkt. Se Figur (b).
3.: Om punktet ligger mellom en stiplet linje på venstre side og en heltrukken linje på høyre side, betyr dette at $f$ først avtar, så stiger. Du får da et bunnpunkt. Se Figur (c).

Terrassepunkt der funksjonen stiger før og etter nullpunktet til den deriverte.

(a)

Toppunkt der funksjonen stiger før og synker etter nullpunktet til den deriverte.

(b)

Bunnpunkt der funksjonen synker før og stiger etter nullpunktet til den deriverte.

(c)

Eksempel 1

Du har en tredjegradsfunksjon på formen $f (x) = - \frac{2}{3} x^{3} - x^{2} + 4 x$ . Finn eventuelle topp- og bunnpunkter til $f (x)$ .

1.

Først deriverer du

f (x)

:

f^{'} (x) = - 2 x^{2} - 2 x + 4

2.

Denne funksjonen faktoriseres ut ifra denne formelen

a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2}) .

Da blir faktoriseringen

f^{'} (x) = - 2 (x^{2} + x - 2) = - 2 (x + 2) (x - 1) .

3.

Fortegnslinjene vil da se ut som følger:

Fortegnsskjema for f’(x) = -2(x+2)(x-1)

4.

Du kan nå bestemme hva som er toppunkt og hva som er bunnpunkt. Fra fortegnslinjene ser du at funksjonene først avtar, deretter stiger for så å avta igjen. Du vet derfor at

x = - 2

er et bunnpunkt og at

x = 1

er et toppunkt.

Nå må du finne de tilhørende $y$ -verdiene. Dette gjør du ved å sette $x$ -verdiene du fant inn i hovedfunksjonen

f (x) = - \frac{2}{3} x^{3} + x^{2} + 4 x .

Da får du:

Bunnpunkt:

\begin{array}{l} (x_{b}, f (x_{b})) & = (- 2, f (- 2)) \\ = (2 -, - \frac{20}{3}) \end{array}

fordi

\begin{array}{l} f (- 2) & = - \frac{2}{3} {(- 2)}^{3} - {(- 2)}^{2} + 4 (- 2) \\ = \frac{16}{3} + 4 - 8 \\ = \frac{16 - 12 - 24}{3} \\ = - \frac{20}{3} \end{array}

Toppunkt:

\begin{array}{l} (x_{t}, f (x_{t})) & = (1, f (1)) \\ = (1, \frac{7}{3}) \end{array}

fordi

\begin{array}{l} f (1) & = - \frac{2}{3} {(1)}^{3} - {(1)}^{2} + 4 (1) \\ = - \frac{2}{3} - 1 + 4 \\ = - \frac{2}{3} - \frac{3}{3} + \frac{12}{3} \\ = \frac{7}{3} \end{array}

Grafen til f(x) = (-2/3)x^3-x^2+4x med ekstremalpunkter markert.

Bildet stemmer godt overens med utregningen du har gjort. Bunnpunktet er i $(- 2, - \frac{20}{3})$ og toppunktet er i $(1, \frac{7}{3})$ . Frem til bunnpunktet ser du at grafen avtar, den deriverte er negativ og fortegnslinjen til den deriverte er stiplet. Mellom bunnpunktet og toppunktet stiger grafen, den deriverte er positiv og fortegnslinjen til den deriverte er heltrukken. Fra toppunktet og utover avtar grafen, den deriverte er negativ og fortegnslinjen er stiplet.

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!

Ferdig

Å tegne fortegnslinjen til den deriverte

Sammenhengen mellom f(x) og f′(x).

Bestemme topp-, bunn- og terrassepunkter

Sammenhengen mellom $f (x)$ og $f^{'} (x)$ .