House of Math

Hvordan bruke fortegnslinjer

Teori

Hva er en fortegnslinje?

En fortegnslinje avgjør når $y$ -verdiene til et funksjonsuttrykk $f (x)$ er negative eller positive, altså når grafen til $f (x)$ ligger over eller under $x$ -aksen.

NB! Uansett hvilken type funksjon du har, så forteller fortegnslinjene kun hvor den funksjonen du tegner fortegnslinje til ligger over og under $x$ -aksen.

Grunnen til at du skal bli glad i fortegnslinjer er at fortegnslinjene til deriverte funksjoner forteller hvordan hovedfunksjonen beveger seg.

Regel

Slik tegner du fortegnslinjer

Denne reglen gjelder for all tegning av fortegnslinjer.

Du tegner en heltrukken linje når $y$ -verdien til funksjonsuttrykket er større enn null, ofte kalt $f (x) > 0$ .
Du tegner en stiplet linje når $y$ -verdien til funksjonsuttrykket er mindre enn null, ofte kalt $f (x) < 0$ .

Eksempel 1

I tilfellet under ser du at grafen ligger under

x

-aksen frem til

x = 2

, og mellom

x = 5

og

x = 8

. I dette området er fortegnslinjen stiplet. Grafen ligger over

x

-aksen mellom

x = 2

og

x = 5

, og fra

x = 8

og oppover. I disse områdene er fortegnslinjen heltrukken.

En graf som slynger seg over og under x-aksen med tilhørende fortegnslinje.

NB! Når du skal tegne fortegnslinjen til konstanter så tegner du en heltrukken linje for positive tall og en stiplet linje for negative tall.

Så hvordan vet du hvilke områder funksjonen ligger over eller under $x$ -aksen? Her er to fremgangsmåter. Bruk Metode 1 når du har et lineært uttrykk. I andre tilfeller bruker du den du liker best:

Regel

Metode 1: Å bestemme om funksjonen er positiv eller negativ

1.: Først løser du likningen $f (x) = 0$ for å finne de(t) punktene der grafen skjærer $x$ -aksen.
2.: Nå sjekker du én $x$ -verdi på hver side av disse skjæringspunktene. Dersom $x$ -verdien gir en negativ $y$ -verdi, ligger grafen under $x$ -aksen i dette området. Dersom $x$ -verdien gir en positiv $y$ -verdi, ligger grafen over $x$ -aksen i hvert område.
3.: Tegn fortegnslinjen.

Eksempel 2

Tegn fortegnslinjen til $f (x) = - 2 x + 12$

1.: Løser likningen $- 2 x + 12 = 0$ : $\begin{array}{l} - 2 x + 12 & = 0 \\ - 2 x & = - 12 | : (- 2) \\ x & = 6 \end{array}$
2.: Nå sjekker du én verdi som er mindre enn $x = 6$ og én verdi som er større enn $x = 6$ . Her lønner det seg å velge pene tall slik som $x = - 10$ og $x = 10$ . $\begin{array}{l} f (- 10) & = - 2 \cdot (- 10) + 12 \\ = 20 + 12 \\ = 32 \\ > 0 \Rightarrow over x -aksen \\ f (10) & = - 2 \cdot (10) + 12 \\ = - 20 + 12 \\ = - 8 \\ < 0 \Rightarrow under x -aksen \end{array}$
3.: Tegner fortegnslinjene.

Regel

Metode 2: Å bestemme om funksjonen er positiv eller negativ

1.: Først løser du likningen $f (x) = 0$ for å finne de punktene der grafen skjærer $x$ -aksen.
2.: Deretter faktoriserer du uttrykket.
3.: Nå tegner du en fortegnslinje for hver faktor $(x - x_{i})$ , der skjæring med $x$ -aksen er $x_{i}$ .
4.: Du vet at $x - x_{i} = 0$ når $x = x_{i}$ . Dermed setter du $x_{i}$ på den øverste linjen og 0 på fortegnslinjen.
5.: For å finne ut hvor fortegnslinjen er positiv og hvor den er negativ tester du en verdi til venstre for $x_{i}$ og en til høyre for $x_{i}$ ved å sette inn for $x$ i $(x - x_{i})$ . Blir svaret positivt vet du at det er en heltrukken linje, blir svaret negativt vet du at det skal være en stiplet linje. Dette må du gjenta for alle faktorene.
6.: Til slutt summerer du fortegnene som er under hverandre og tegner en egen fortegnslinje under de andre for summen av fortegnene.

Eksempel 3

Finn nullpunktene til grafen

f (x) = x^{2} - 7 x + 12

og bestem hvor grafen er over og under $x$ -aksen.

1.

Først løser du likningen

f (x) = 0

. Her kan du bruke

a b c

-formelen eller inspeksjon. Du finner at

x_{1} = 4

og

x_{2} = 3

.

2.

Faktoriseringen blir dermed

(x - 4) (x - 3) .

3.

Tegner nå fortegnslinjene til

(x - 3)

. Finner først der

x - 3 = 0

:

\begin{array}{l} x - 3 & = 0 \\ x & = 3 \end{array}

Dermed skal 3 på $x$ -linjen, som er den øverste linjen.

Finner nå hvor fortegnslinjen skal være positiv og negativ:

Velger en verdi mindre enn 3, for eksempel $x = 0$ og setter inn i $x - 3$ . Får da at $0 - 3 = - 3 < 0$ , og du har en stiplet linje til venstre for 3.

Velger en verdi større enn 3, for eksempel $x = 10$ og setter inn i $x - 3$ . Får da at $10 - 3 = 7 > 0$ , og du har en heltrukken linje til høyre for 3.

Tegner nå fortegnslinjen under den forrige fortegnslinjen.

4.

Tegner nå fortegnslinjene til

(x - 4)

. Finner først der

x - 4 = 0

for å finne punktet der denne faktoren er null.

\begin{array}{l} x - 4 & = 0 \\ x & = 4 \end{array}

Dermed skriver du 4 på $x$ -linjen, som er den øverste linjen.

Du finner nå hvor fortegnslinjen skal være positiv og negativ:

Velger en verdi mindre enn 4, for eksempel $x = 0$ og setter inn i $x - 4$ . Får da at $0 - 4 = - 4 < 0$ , og du har en stiplet linje til venstre for 4.

Velger en verdi større enn 4, for eksempel $x = 10$ og setter inn i $x - 4$ . Får da at $10 - 4 = 6 > 0$ , og du har en heltrukken linje til høyre for 4.