House of Math

Hva er regnereglene for logaritmer?

Som du ser av reglene under er alle logaritmereglene for tierlogaritmen $\log x$ og den naturlige logaritmen $\ln x$ like. Her kommer en oversikt som viser nettopp dette:

Briggske logaritmen:

$1 0^{\lg a} = a$

Naturlige logaritmen:

$e^{\ln a} = a$

Regel

Logaritmeregler for tierlogaritmen

Første logaritmesetning:

\lg (a^{x}) = x \lg a

Andre logaritmesetning:

\lg (a \cdot b) = \lg a + \lg b

Tredje logaritmesetning:

\lg (\frac{a}{b}) = \lg a - \lg b

Regel

Logaritmeregler for den naturlige logaritmen

Første logaritmesetning

\ln (a^{x}) = x \ln a

Andre logaritmesetning

\ln (a \cdot b) = \ln a + \ln b

Tredje logaritmesetning

\ln (\frac{a}{b}) = \ln a - \ln b

Eksempel 1

Skriv $\lg a^{2} + \lg b^{2} - 2 \lg a$ så enkelt som mulig

$\begin{array}{l} \lg a^{2} + \lg b^{2} - 2 \lg a & = 2 \lg a + 2 \lg b \\ - 2 \lg a \\ = 2 \lg b \end{array}$

$\begin{array}{l} \lg a^{2} + \lg b^{2} - 2 \lg a & = 2 \lg a + 2 \lg b - 2 \lg a \\ = 2 \lg b \end{array}$

Eksempel 2

Skriv $\lg a b + \lg b^{2} - \lg a^{2} b$ så enkelt som mulig

$\begin{array}{l} \lg a b + \lg b^{2} - \lg a^{2} b & = \lg a + \lg b + 2 \lg b \\ - (\lg a^{2} + \lg b) \\ = \lg a + 3 \lg b - \lg a^{2} \\ - \lg b \\ = \lg a + 2 \lg b \\ - 2 \lg a \\ = - \lg a + 2 \lg b \end{array}$

$\begin{array}{l} \lg a b + \lg b^{2} - \lg a^{2} b & = \lg a + \lg b + 2 \lg b - (\lg a^{2} + \lg b) \\ = \lg a + 3 \lg b - \lg a^{2} - \lg b \\ = \lg a + 2 \lg b - 2 \lg a \\ = - \lg a + 2 \lg b \end{array}$

Eksempel 3

Skriv $\lg \frac{a}{b} - \lg \frac{2 a}{b^{3}}$ så enkelt som mulig

\begin{array}{l} \lg \frac{a}{b} - \lg \frac{2 a}{b^{3}} & = \lg a - \lg b - (\lg 2 a - \lg b^{3}) \\ = \lg a - \lg b - (\lg 2 + \lg a \\ - 3 \lg b) \\ = \lg a - \lg b - \lg 2 - \lg a \\ + 3 \lg b \\ = 2 \lg b - \lg 2 \end{array}

\begin{array}{l} \lg \frac{a}{b} - \lg \frac{2 a}{b^{3}} & = \lg a - \lg b - (\lg 2 a - \lg b^{3}) \\ = \lg a - \lg b - (\lg 2 + \lg a - 3 \lg b) \\ = \lg a - \lg b - \lg 2 - \lg a + 3 \lg b \\ = 2 \lg b - \lg 2 \end{array}

Eksempel 4

Skriv $\lg 2 x + \lg 2 - \lg \frac{2}{x^{2}} + \lg 10$ så enkelt som mulig

\begin{array}{l} \lg 2 x + \lg 2 - \lg \frac{2}{x^{2}} + \lg 10 & = \lg 2 + \lg x \\ + \lg 2 - (\lg 2 \\ - \lg x^{2}) + 1 \\ = 2 \lg 2 + \lg x \\ - \lg 2 + \lg x^{2} \\ + 1 \\ = \lg 2 + \lg x \\ + 2 \lg x + 1 \\ = \lg 2 + 3 \lg x \\ + 1 \end{array}

\begin{array}{l} \lg 2 x + \lg 2 - \lg \frac{2}{x^{2}} + \lg 10 & = \lg 2 + \lg x + \lg 2 - (\lg 2 - \lg x^{2}) + 1 \\ = 2 \lg 2 + \lg x - \lg 2 + \lg x^{2} + 1 \\ = \lg 2 + \lg x + 2 \lg x + 1 \\ = \lg 2 + 3 \lg x + 1 \end{array}

Eksempel 5

Skriv $\lg a b + \lg b^{2} - \lg a^{2} b$ så enkelt som mulig

$\begin{array}{l} \lg a b + \lg b^{2} - \lg a^{2} b & = \lg a + \lg b + 2 \lg b \\ - (\lg a^{2} + \lg b) \\ = \lg a + 3 \lg b - \lg a^{2} \\ - \lg b \\ = \lg a + 2 \lg b \\ - 2 \lg a \\ = - \lg a + 2 \lg b \end{array}$

$\begin{array}{l} \lg a b + \lg b^{2} - \lg a^{2} b & = \lg a + \lg b + 2 \lg b - (\lg a^{2} + \lg b) \\ = \lg a + 3 \lg b - \lg a^{2} - \lg b \\ = \lg a + 2 \lg b - 2 \lg a \\ = - \lg a + 2 \lg b \end{array}$